稳定器与Clifford模拟器

概述

叠加和纠缠 都是量子优势的典型来源，但是当系统包含的量子比特个数N增加时，量子态系数的个数随N指数增加，将无法使用经典计算机实现传统的全振幅模拟，这一问题称为 指数墙问题 。

基于 Gottesman_knill定理 ，我们可以得知，在基于特定门集形成的稳定器线路中，我们是可以通过多项式复杂度进行模拟的，而这也意味着，可以在某些特定逻辑门构造的线路中打破量子的指数级加速霸权，将经典模拟应用到量子线路中，从而验证量子计算机的结果是否正确。并且在未来的容错量子计算机中，必然是需要冗余信息进行编码，从而达到容错计算的可能，这显然在基于目前量子计算模拟框架中是无法实现大比特线路的。

我们可以另辟蹊径，通过 stabilizer 及对应的 Clifford 门集模拟器可以有效利用其多项式模拟的特性，解决基于pauli噪声的容错量子计算。同时，为了推广到通用量子计算，也可以将stabilizer的理论性质带入到 Clifford+T 的模拟中，基于 Clifford+T 的模拟器，我们可以解决大比特下的non-clifford逻辑门较少前提下的量子模拟(Clifford+T可以近似分解任意逻辑门)。

原理介绍

对于一个量子态 \(|\psi\rangle\) （一般指纯态），如果存在一个酉矩阵U使得 \(U|\psi\rangle = |\psi\rangle\) ，那么称 \(|\psi\rangle\) 可以被U所stabilize，U是 \(|\psi\rangle\) 的一个stabilizer，比如 \(Z|0\rangle = |0\rangle\) 。

很明显，一个量子态存在多个stabilizer，当有多个stabilizer时，这些stabilizer的乘积自然也是stabilizer。

\(Z_{1}Z_{2}X_{1}X_{2}|\psi\rangle = Z_{1}Z_{2}|\psi\rangle = |\psi\rangle\)

这种乘法封闭性告诉我们stabilizer会形成一个 群 。

对于量子态 \(|\psi\rangle\) ，若幺正变换群S中的每个元素都是 \(|\psi\rangle\) 的stabilizer，则称整个幺正变换群S是 \(|\psi\rangle\) 的stabilizer group。

一般情况下我们只关注 \(P\text{auli}\) 矩阵 \(\left\{ X,Y,Z,I \right\}\) 作为stabilizer的情况，即 幺正变换群由Pauli群构成，即

\(Stab(|\psi\rangle) = \left\{ P \in \mathcal{P}_{n}:P|\psi\rangle = |\psi\rangle \right\}\)

上述式子中，Pauli群 \(\mathcal{P}_{n}\) 定义为作用在n比特上的 \(P\text{auli}\) 操作符的集合，其中相位系数为 \(\pm 1\) 和 \(\pm i\) 。

\(\mathcal{P}_{n} = \left\{ i^{\gamma}X(a)Z(b):\gamma \in \{ 0,1,2,3\},a,b \in \{ 0,1\}^{n} \right\}\)

该Pauli群中 \(P^{(1)},\ldots,P^{(m)} \in \mathcal{P}_{n}\) 各个元素均是独立的。那么我们依据Pauli群的特殊性质可以得到：

\(\begin{matrix} \text{Stab}(|00\rangle)\& = \left\{ I,Z_{1},Z_{2},Z_{1}Z_{2} \right\}\& = \left\langle Z_{1},Z_{2} \right\rangle \\ \text{Stab}(| + + \rangle)\& = \left\{ I,X_{1},X_{2},X_{1}X_{2} \right\}\& = \left\langle X_{1},X_{2} \right\rangle \\ \text{Stab}\left( \frac{\left| 00 \right\rangle + \left| 11 \right\rangle}{\sqrt{2}} \right)\& = \left\{ I,X_{1}X_{2},Z_{1}Z_{2}, - Y_{1}Y_{2} \right\}\& = \ \left\langle X_{1}X_{2},Z_{1}Z_{2} \right\rangle \\ \text{Stab}\left( \left| 0^{n} \right\rangle \right)\& = \left\{ Z(a):a \in \{ 0,1\}^{n} \right\}\& = \left\langle Z_{1},\ldots,Z_{n} \right\rangle \\ \end{matrix}\)

问题在于如何构造 Stabilizer Group ，这里就不得不提到，当 Cliffford Group 门集中的元素作用在Pauli群上会有这样一组变换:

\(\mathbf{P|\psi\rangle = |\psi\rangle \Longleftrightarrow}\left( \mathbf{\text{UP}}\mathbf{U}^{\mathbf{\dagger}} \right)\mathbf{U|\psi\rangle = U|\psi\rangle}\)

当我们将群写成形式 \(P = i^{\gamma}X(a)Z(b)\) ， Cliffford Group 的作用形式如下：

\(U_{j}PU_{j}^{\dagger} = i^{\gamma}X^{a_{1}}Z^{b_{1}} \otimes \ldots \otimes X^{a_{j - 1}}Z^{b_{j - 1}} \otimes UX^{a_{j}}Z^{b_{j}}U^{\dagger} \otimes X^{a_{j + 1}}Z^{b_{j + 1}} \otimes \ldots \otimes X^{a_{n}}Z^{b_{n}}\)

我们会惊讶的发现， \(\mathbf{U}_{\mathbf{j}}\mathbf{P}\mathbf{U}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{\dagger}}\mathbf{=}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{new}}}\) 。也就如下图所示：

_images/clifford.png

这里可以发现，我们将 \(\mathcal{P}_{n}\) 中的Y的变换去除了，这是由于 \(Y = IXZ\) 。

\(|\psi\rangle \rightarrow U|\psi\rangle\)

等价的只需要追踪stabilizer的演化，同样可以得到系统完整的动力学信息。

\(S \rightarrow USU^{\dagger}\)

这里将量子态的逻辑门演化问题转化为更新量子态对应的 Stabilizer Group 问题，即使用 Stabilizer 模拟量子线路的核心思想是使用 Stabilizer Group 表征量子态，而不是传统模拟器的振幅。

也就是说，在基于特定门集形成的稳定器线路中，根据线路特性，通过多项式复杂度即可进行模拟超大数量的量子线路 （仅限由Clifford量子逻辑门集合和衍生集合组成：H, S, X, Y, Z, CNOT, CY, CZ, SWAP ）

使用介绍

pyqpanda 中可以通过 Stabilizer 类实现对大比特的Clifford线路模拟。和许多其他模拟器有类似的功能接口，主要分为以下两个:

采样测量

#include "QPanda.h"
USING_QPANDA

//初始化Clifford模拟器，默认最大支持6000比特
auto machine = Stabilizer();
machine.init();

auto q = machine.qAllocMany(100);
auto c = machine.cAllocMany(100);

//构建量子线路，支持的门集为{ H, S, X, Y, Z, CNOT, CY, CZ, SWAP }
auto prog = QProg();
prog << X(q[1])
    << H(q[2])
    << H(q[49])
    << Z(q[2])
    << CZ(q[0], q[22])
    << CNOT(q[2], q[39])
    << MeasureAll(q, c);

    //runWithConfiguration用于获取测量操作的测量结果
auto result = machine.runWithConfiguration(prog, 1000);

for (auto val : result)
{
    std::cout << val.first << " : " << val.second << std::endl;
}

machine.finalize();

输出结果如下：

'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010': 244,
'000000000000000000001000000000000000000000000000000000000110': 278,
'000000000010000000000000000000000000000000000000000000000010': 252,
'000000000010000000001000000000000000000000000000000000000110': 226

概率测量

#include "QPanda.h"
USING_QPANDA

//初始化Clifford模拟器，默认最大支持6000比特
auto machine = Stabilizer();
machine.init();

auto q = machine.qAllocMany(100);
auto c = machine.cAllocMany(100);

//构建量子线路，支持的门集为{ H, S, X, Y, Z, CNOT, CY, CZ, SWAP }
auto prog = QProg();
prog << X(q[0])
    << H(q[2])
    << H(q[22])
    << Z(q[2])
    << CZ(q[0], q[22])
    << CNOT(q[2], q[10]);

    //runWithConfiguration用于获取测量操作的测量结果
auto result = machine.probRunDict(prog, { q[0],q[2],q[10],q[22] });

for (auto val : result)
{
    std::cout << val.first << " : " << val.second << std::endl;
}

machine.finalize();

输出结果如下：

0000 : 0
0001 : 0.25
0010 : 0
0011 : 0
0100 : 0
0101 : 0
0110 : 0
0111 : 0.25
1000 : 0
1001 : 0.25
1010 : 0
1011 : 0
1100 : 0
1101 : 0
1110 : 0
1111 : 0.25