泡利算符类

泡利算符是一组三个2×2的幺正厄米复矩阵,又称酉矩阵。我们一般都以希腊字母 \(\sigma\) (西格玛)来表示,记作 \(\sigma_x\)\(\sigma_y\)\(\sigma_Z\) 。 在 QPanda 中我们称它们为 \(X\) 门,\(Y\) 门,\(Z\) 门。 它们对应的矩阵形式如下表所示。

X
\(\sigma_x\)
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\quad\)
Y
\(\sigma_y\)
\(\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}\quad\)
Z
\(\sigma_z\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\quad\)

泡利算符的运算规则如下:

1. 泡利算符与自身相乘得到是单位矩阵

\[\sigma_x\sigma_x = I\]
\[\sigma_y\sigma_y = I\]
\[\sigma_z\sigma_z = I\]

2. 泡利算符与单位矩阵相乘,无论是左乘还是右乘,其值不变

\[\sigma_xI = I\sigma_x = \sigma_x\]
\[\sigma_yI = I\sigma_y = \sigma_y\]
\[\sigma_zI = I\sigma_z = \sigma_z\]

3. 顺序相乘的两个泡利算符跟未参与计算的泡利算符是 \(i\) 倍的关系

\[\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z\]
\[\sigma_y\sigma_z = i\sigma_x\]
\[\sigma_z\sigma_x = i\sigma_y\]

4. 逆序相乘的两个泡利算符跟未参与计算的泡利算符是 \(-i\) 倍的关系

\[\sigma_y\sigma_x = -i\sigma_z\]
\[\sigma_z\sigma_y = -i\sigma_x\]
\[\sigma_x\sigma_z = -i\sigma_y\]

接口介绍

根据泡利算符的上述性质,我们在 QPanda 中实现了泡利算符类 PauliOperator。我们可以很容易的构造泡利算符类,例如

using namespace QPanda;

// 构造一个空的泡利算符类
PauliOperator p1;

// 2倍的"泡利Z0"张乘"泡利Z1"
PauliOperator p2("Z0 Z1", 2);

// 2倍的"泡利Z0"张乘"泡利Z1" + 3倍的"泡利X1"张乘"泡利Y2"
PauliOperator p3({{"Z0 Z1", 2},{"X1 Y2", 3}});

// 构造一个单位矩阵,其系数为2,等价于PauliOperator p4("", 2);
PauliOperator p4(2);

其中PauliOperator p2("Z0 Z1", 2)表示的是 \(2\sigma_{0}^{z}\otimes\sigma_{1}^{z}\)

注解

构造泡利算符类的时候,字符串里面包含的字符只能是空格、 \(X\)\(Y\)\(Z\) 中的一个或多个,包含其它字符将会抛出异常。 另外,同一个字符串里面同一泡利算符的比特索引不能相同,例如:PauliOperator("Z0 Z0", 2)将会抛出异常。

泡利算符类之间可以做加、减、乘等操作,计算返回结果还是一个泡利算符类。

using namespace QPanda;

PauliOperator a("Z0 Z1", 2);
PauliOperator b("X5 Y6", 3);

PauliOperator plus = a + b;
PauliOperator minus = a - b;
PauliOperator muliply = a * b;

泡利算符类支持打印功能,我们可以将泡利算符类打印输出到屏幕上,方便查看其值。

using namespace QPanda;

PauliOperator a("Z0 Z1", 2);

std::cout << a << std::endl

我们在实际使用的时候,常常需要知道该泡利算符类操作了多少个量子比特,这时候我们通过调用泡利算符类getMaxIndex接口即可得到。 如果是空的泡利算符类调用getMaxIndex接口则返回0,否则返回其最大下标索引值加1的结果。

using namespace QPanda;

PauliOperator a("Z0 Z1", 2);
PauliOperator b("X5 Y6", 3);

// 输出的值为2
std::cout << a.getMaxIndex() << std::endl;
// 输出的值为7
std::cout << b.getMaxIndex() << std::endl;

如果我们构造的的泡利算符类,其中泡利算符的下标索引不是从0开始分配的,例如PauliOperator b("X5 Y6", 3)调用getMaxIndex接口返回的使用的比特数是7,其实 只使用了2个比特。我们如何才能返回其真实用到的比特数呢。我们可以调用泡利算符类里面remapQubitIndex接口,它的功能是对泡利算符类中的索引从0比特开始分配映射, 并返回新的泡利算符类,该接口需要传入一个map来保存前后下标的映射关系。

using namespace QPanda;

PauliOperator b("X5 Y6", 3);

std::map<size_t, size_t> index_map;
auto c = b.remapQubitIndex(index_map);

// 输出的值为7
std::cout << b.getMaxIndex() << std::endl;
// 输出的值为2
std::cout << c.getMaxIndex() << std::endl;

实例

以下实例主要是展示 PauliOperator 接口的使用方式.

#include "Operator/PauliOperator.h"

int main()
{
    QPanda::PauliOperator a("Z0 Z1", 2);
    QPanda::PauliOperator b("X5 Y6", 3);

    auto plus = a + b;
    auto minus = a - b;
    auto muliply = a * b;

    std::cout << "a + b = " << plus << std::endl << std::endl;
    std::cout << "a - b = " << minus << std::endl << std::endl;
    std::cout << "a * b = " << muliply << std::endl << std::endl;

    std::cout << "Index : " << muliply.getMaxIndex() << std::endl << std::endl;

    std::map<size_t, size_t> index_map;
    auto remap_pauli = muliply.remapQubitIndex(index_map);

    std::cout << "remap_pauli : " << remap_pauli << std::endl << std::endl;
    std::cout << "Index : " << remap_pauli.getMaxIndex() << std::endl;

    return 0;
}
_images/PauliOperatorTest.png